Kezdőlap


Feladat:	150. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi Emil , Gehér L. , Károlyházi F. , Kővári T. , Szépfalussy P. , Szűcs L.
Füzet:	1948/szeptember, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/február: 150. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatba sajtóhiba csúszott, mivel azonban legtöbben ezt maguktól ki tudták javítani, közöljük a megoldását. Többen abba a hibába estek, hogy két kitérő egyenes közül az egyiken át mindig lehet a másik egyenesre merőleges síkot fektetni. Próbáljuk meg ezt két majdnem párhuzamos egyenes esetén! Ugye nem megy? Bizonyításuk gondolatmenete azonban így is jó (Ld. II. megoldás).
I. megoldás. A szögfelező sík $2$ tetraéderre osztja az eredeti tetraédert, legyen köbtartalmuk $k_{1}$ , ill. $k_{2}$ . Legyen a tetraéder $D$ -ből húzott magassága $m$ , az $A B C ▵$ $C$ -ből húzott magassága $n$ (47. ábra).

47. ábra

Ekkor:

k_{1} = A E m n / 6

és

k_{2} = B E m n / 6

, ebből:

k_{1} : k_{2} = A E : B E

A D C E

tetraéder és

B C D E

tetraéder

E

-ből húzott magassága egyenlő, mert a szögfelező sík bármely pontja a szöget alkotó két síktól egyenlő távolságra van, jelöljük

m'

-vel.

k_{1} = \frac{t_{A C D ▵} \cdot m'}{3}

és

k_{2} = \frac{t_{B C D ▵} \cdot m'}{3}

, ebből:

\begin{matrix} k_{1} : k_{2} = t_{A C D ▵} : t_{B C D ▵} . \end{matrix}

A két egyenlet alapján:

A E : B E = t_{A C D ▵} : t_{B C D ▵}

Aradi Emil (Szentendrei rk. gimn. VIII. o.)

II. megoldás: Fektessünk

E

-n át

C D

-re merőleges síkot (48. ábra).

48. ábra

Messe ez

F

-ben

C D

-t. Bocsássunk

A

-ból és

B

-ből erre a merőleges síkra merőlegeseket, legyen talppontjuk

A'

és

B'

. Ezek benne vannak az

A C D

, ill.

B C D

háromszög síkjában, mert

A A' | | C D | | B B'

. Így

F A'

, ill.

F B'

A C D_{▵}

, ill.

B C D_{▵}

C D

-re bocsátott magasságával egyenlő hosszú, másrészt az

A' F B'

háromszögben

E F

szögfelező. Így

2 t_{A C D ▵} = C D \cdot A' F

2 t_{B C D ▵} = C D \cdot B' F

másrészt:

A' F \cdot B F = A' E : B' E = A E : B E

. A kettőből következik állításuk.