Kezdőlap


Feladat:	147. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi E. , Baumann F. , Béres F. és Kovács S. , Czibere T. és Nagy F. , Farkas I. (Győr) , Findler M. , Fried E. , Gacsályi S. , Gehér László , Gilyén N. , Károlyházi F. , Korányi Á. , Kővári T. , Osztroluczky Klára , Párkány M. , Pataky B. , Riesz Judit , Róna P. , Rostás Márta , Szeghy I. , Szépfalussy P. , Szirányi Z. , Szűcs L. , Tamás H. , Tamás I. , Tar Katalin , Vermes R. , Vörös M.
Füzet:	1948/szeptember, 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör középpontja, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/február: 147. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy $a = 2 r \cdot sin α$ , $b = 2 r \cdot sin β$ , $c = 2 r \cdot sin γ$ . A háromszög területét jelöljük $t$ -vel.

\begin{matrix} 2 r (p_{a} sin α + p_{b} \cdot sin β + p_{c} \cdot sin γ) = p_{a} \cdot a + p_{b} + p_{c} \cdot c = 2 t = \\ = a b \cdot sin γ = 2 r sin α \cdot 2 r sin β \cdot sin γ . \end{matrix}

Mindkét oldalt

2 r

-rel osztva:

p_{a} sin α + p_{b} \cdot sin β + p_{c} \cdot sin γ = 2 r sin α sin β sin γ

Tar Katalin (Keszthely, premontrei gimn. V.)

II. megoldás:

p_{a} = r \cdot cos α

p_{b} = r \cdot cos β

p_{c} = r \cdot cos γ

\begin{matrix} p_{a} sin α + p_{b} sin β + p_{c} cos γ = r (sin α cos α + sin β cos β + sin γ cos γ) = \\ = \frac{r}{2} (sin 2 α + sin 2 β + 2 sin γ cos γ) = \frac{r}{2} [2 sin (α + β) cos (α - β) + \\ + 2 sin γ cos γ] = \frac{r}{2} [2 sin γ cos (α - β) + 2 sin γ cos γ] = \\ = r sin γ [cos (α - β) - cos (α + β)] = r sin γ (cos α cos β + \\ + sin α sin β - cos α cos β + sin α sin β) = 2 r sin α sin β sin γ . \end{matrix}

Gehér László (Zalaegerszegi gimn. VII. o.)