Kezdőlap


Feladat:	144. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár J. , Czibere T. és Nagy F. , Eisler O. , Gehér László , Koltai Marianna , Kutassy Ildikó , Réthy Eszter , Szépfalusy Péter , Vígh Magda
Füzet:	1948/szeptember, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/február: 144. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a zuhanykarok számát $x$ -szel, az egész fűtési időt $T$ -vel. Akkor:

\begin{matrix} 3 x + 12 \cdot \frac{100}{x} = T . \end{matrix}

x

azon pozitív egész értékét keressük, mely mellett

T

a lehető legkisebb.

\begin{matrix} 3 x^{2} - T x + 1200 = 0 \\ x_{1,2} = \frac{T \pm \sqrt[]{T^{2} - 12^{2} \cdot 10^{2}}}{6} \end{matrix}

x

-re csak akkor ad valós, vagy

0

megoldást, ha a gyökjel alatt pozitív szám áll, így

T^{2}

lehető legkisebb értéke:

T^{2} = 12^{2} \cdot 10^{2}

. Ebből

T = 120

(mert negatív nem lehet). Ezt az

x

egyenletébe helyettesítve

x = 20

, ami egész szám, tehát a példa feltételei mellett

20

zuhanykar gazdaságos.

Szépfalusy Péter (Szeged, ,,Dugonics András'' gimn. VII. b. o.)

II. megoldás: Ha a zuhanykarok száma

x

, a csoportoké

y

, fennáll

x y = 100

. A fűtés ideje

n = 3 x + 12 y = 3 (x + 4 y)

.
A számtani és mértani közép egyenlőtlensége folytán

\begin{matrix} \frac{x + 4 y}{2} \geq \sqrt[]{4 x y} = 20 \end{matrix}

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha

x = 4 y

, ekkor

x = 20

y = 5

és

n = 120

perc = 2 óra

. Ha volna töredékcsoport, akkor

x y > 100

, tehát

\frac{x + 4 y}{2} > 20

volna, így valóban

20

zuhanykar a leggazdaságosabb.

Gehér László (Zalaegerszegi gimn. VII. o.)

Megjegyzés: Az első megoldás kivételével a megoldók feltették, hogy

x

-en kívül

\frac{100}{x}

is egész. Néhányan éppen ebből indultak ki és végigpróbálták

x

lehetséges értékeit. Ez a megoldás szerencsés akkor, hogyha biztosítva van, hogy véges számú próbálgatással feleletet kapunk egy kérdésre, akkor ezeknek a eseteknek a kipróbálása egy biztos út a válasz megadására. Esetünkben azonban elképzelhető, hogy a leggazdaságosabb megoldás mellett az utolsó csoport már nem veszi igénybe az összes zuhanyt. Ha

4

perc előmelegítést számítunk, már ilyen esetre jutunk. A második megoldáshoz fűzött kiegészítésünk mutatja, hogy lehetett volna ezt a lehetőséget is tekintetbe venni.