Feladat: 141. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baumann F. ,  Béleczki L. ,  Bognár J. ,  Czipszer J. ,  Dékány A. ,  Eisler O. ,  Farkas I. (Győr) ,  Findler M. ,  Fried Ervin ,  Gacsályi S. ,  Gehér L. ,  Gnóth M. ,  Kakas J. ,  Károlyházi F. ,  Kocsis K. ,  Korányi Á. ,  Kővári T. ,  László Ágota ,  Markó J. ,  Osztroluczky Klára ,  Párkány Mihály ,  Róna P. ,  Szépfalussy P. ,  Szirányi Z. ,  Szűcs L. ,  Tamá H. ,  Tarnay Gy. ,  Tarnóczi T. ,  Vermes R. ,  Vörös M. ,  Zergényi Erzsébet 
Füzet: 1948/szeptember, 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1948/február: 141. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: 5a+3=4(a+1)+(a-1), 3a+1=4a-(a-1). Ha a szorzat osztható 8-cal, akkor valamelyik tényezője osztható legalább 4-gyel, de akkor a-1 és a másik tényező is 4-gyel osztható. a=4k+1,(5a+3)(3a+1)=16(5k+2)(3k+1). Mivel itt az utolsó két tényező közül is valamelyik mindig páros, nyertük, hogy
ha (5a+2)(3a+1) osztható 8-cal, akkor osztható 32-vel is.

 

Fried Ervin (Bp., Kemény Zsigmond gimn. VII. o.)
 

II. megoldás: a-nak páratlannak kell lennie, mert különben mindkét tényező páratlan lenne. 8-cal való oszthatóság szempontjából a lehet 8k-3, 8k-1, 8k+1, vagy 8k+3 alakú. Ezeket a kifejezéseket beírva a helyébe, azt találjuk, hogy a második és negyedik esetben a szorzat 8-cal osztva, 4-et ad maradékul, míg az első és harmadik esetben még 32-vel is osztható.
 

Párkány Mihály (Békéscsabai gimn. VIII. o.)
 

III. megoldás: Ha a szorzat osztható 8-cal, akkor valamelyik tényező legalább 4-gyel osztható, de mivel a két tényező összege 8a+4 osztható 4-gyel, ilyenkor a másik tényezőnek is oszthatónak kell lennie 4-gyel, tehát a szorzatnak 16-tal.