Kezdőlap


Feladat:	139. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bacsó F. , Bognár J. , Czibere T. és Nagy F. , Czipszer J. , Eisler O. , Farkas I. , Gacsályi S. , Gnóth M. , Karola D. , Kőrösfői L. , Kővári T. , Réthy Eszter , Róna P. , Szeghy I. , Szűcs L. , Tóth K. , Vígh Magda , Vörös M.
Füzet:	1948/szeptember, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/február: 139. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy szám négyzetének utolsó néhány jegyére csak az alap végén ugyanannyi számjegy van befolyással, mert ${(10^{k} a + b)}^{2} = 10^{k} (10^{k} a^{2} + 2 a b) + b^{2}$ . Így a keresett számok utolsó jegye csak $0$ , $1$ , $5$ vagy $6$ lehet, mert ezeknek végződik a négyzete is ugyanerre a jegyre.
Keressük most az utolsó előtti jegyet. Ha az utolsó jegy $0$ , ${(10 x + 0)}^{2} = 100 x^{2}$ , tehát csak $x = 0$ lehet az utolsó előtti. ${(10 y + 1)}^{2} = 100 y^{2} + 20 y + 1$ , tehát $2 y = y$ , $y = 0$ kell legyen. Ha az utolsó jegy $5$ , ${(10 z + 5)}^{2} - 100 (z^{2} + z) + 25$ , tehát $z = 2$ . Végül, ha az utolsó jegy $6$ , ${(10 u + 6)}^{2} = 100 (u^{2} + u) + 10 (2 u + 3) + 6$ , tehát $2 u$ -tól $+ 3$ csak $10$ többszörösében térhet el $u$ -tól, más szóval $10 | (u + 3)$ , $u = 7$ .
Így a $00$ , $01$ , $25$ , $76$ végű számoknak végződik a négyzete ugyanerre a két jegyre.

Megjegyzés: A

01

25

76

-ra végződő tizedes törtek négyzete is ugyanezekre a számjegyekre végződik. (A

00

-t nem tekinthetjük tizedestört ,,végződés''-nek.) Sőt Gacsályi Sándor helyesen jegyzi meg, hogy a megállapított számoknak nemcsak második, hanem minden magasabb egész kitevős hatványa is ugyanazokra a jegyekre végződik, mint az alap. (1 pont) Gehér László egy olyan megoldással küldte be feladatát, mely nem bontja jegyeire a keresett számot. (

2 \times 3

pont.) Keressétek meg ezt a megoldást is!