Kezdőlap


Feladat:	138. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi E. , Béleczki L. , Bognár J. , Buzi K. , Csernók L. , Czibere T. és Nagy F. , Czipszer J. , Findler M. , Fried E. , Gacsályi S. , Gehér L. , Kakas J. , Kálmán G. , Korányi A. , Kővári T. , Osztroluczky Klára , Párkány M. , Róna P. , Salamon Á. , Szeghy I. , Személyi J. , Szépfalussy P. , Szirányi Z. , Szűcs L. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Vermes R. , Vörös M. , Zergényi Erzsébet
Füzet:	1948/szeptember, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1948/február: 138. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egy egész számokra vonatkozó azonosság bizonyítására mindég kézenfekvő a teljes indukció:
$n = 1$ -re az állítás: $1 \cdot (a - 1) = 1 \cdot 2 \cdot (3 a - 2 - 1) / 6$ , ami igaz. Tegyük fel, hogy valamely $n$ értékre már tudjuk az azonosság helyességét, megmutatjuk, hogy ebből következik az azonosság helyessége a következő egész számra, $n + 1$ -re is. Feltétel szerint

\begin{matrix} {1 \cdot (a - 1) + 2 \cdot (a - 2) + ... + n (a - n)} + (n + 1) (a - n - 1) = \\ = \frac{n (n + 1) (3 a - 2 n - 1)}{6} + (n + 1) (a - n - 1) = {(n + 1) / 6} [3 a n - 2 n^{2} - \\ - n + 6 a - 6 n - 6] = {(n - 1) / 6} \cdot [3 a n + 6 a - 2 n^{2} - 7 n - 6] = \\ = {(n + 1) / 6} [3 a (n + 2) - (n + 2) (2 n + 3)] = \\ = \frac{(n + 1) (n + 2) (3 a - 2 n - 3)}{6} = \frac{(n + 1) (n + 2) (3 a - 2 (n + 1) - 1)}{6}, \end{matrix}

tehát valóban visszanyertük a bizonyítandó formulát, csak

n

helyébe

n + 1

-et írva.

a

helyébe

n + 1

-et írva, nyerjük a második azonosságot.

a = 1

-et írva és

(- 1)

-gyel szorozva viszont az ugyancsak
érdekes

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + (n - 1) n = (n - 1) n (n + 1) / 3

összefüggést kapjuk, amihez

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = (n + 1) / 2

-t adva, nyerjük a számok négyzetösszegére már ismert kifejezést. (Természetesen legkönnyebb lett volna azt is teljes indukcióval bizonyítani, ha már ismerjük a végeredményt. De valakinek arra is rá kellett jönnie, hogy mi ez a végeredmény.)

II. megoldás: Ha a számok négyzetösszegét már ki tudjuk egyszerűbben számítani, akkor

\begin{matrix} 1 \cdot (a - 1) + 2 \cdot (a - 2) + 3 \cdot (a - 3) + ... + n \cdot (a - n) = \\ = a + 2 a + 3 a + ... + n a - (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) = \\ = n (n + 1) a / 2 - n (n + 1) (2 n + 1) / 6 = \frac{n (n + 1) (3 a - 2 n - 1)}{6}, \end{matrix}

amiből helyettesítéssel nyerjük ismét a második azonosságot.