Feladat: 137. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gacsályi S. ,  Gehér L. ,  Károlyházi F. ,  Kővári T. ,  Róna P. ,  Szépfalussy P. 
Füzet: 1948/május, 126 - 127. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Simson-egyenes, Háromszögek szerkesztése, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1947/december: 137. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négy egyenes közül kettő olyan helyzetű, hogy egy oldalára esik a másik háromnak mindhárom metszéspontja. Ezeket nevezzük el a és d-nek; c legyen az, melynek a-val való metszéspontja az a-n levő három metszéspont közül középre esik, a negyedik legyen b. Jelöljük a és d, illetve b és c metszéspontját P ill. Q-val, a-nak, ill. d-nek b és c-vel való metszéspontját B1, C1 ill. B2, C2-vel (41. ábra).

 
 

Rajzoljunk egyrészt a PB1B2▵, másrészt a PC1C2▵ köré kört. Mindkét kör belsejében van a másiknak pontja: az előbbiben C1 az utóbbiban B2, így P-n kívül még egy metszéspontjuk van. Jelöljük ezt F-fel. Megmutatjuk, hogy B1FC1∢=B1QC1∢, vagyis a QB1C1▵ köré írt kör átmegy F-en is. Ebből a-t d-vel, b-t c-vel felcserélve nyerjük, hogy a QB2C2▵ köré írt kör is átmegy F-en.
B1FC1∢=B1FP∢-C1FP∢;B1FP∢=B1B2P∢  és  C1FP∢=C1C2P∢,


mint közös íveken nyugvó kerületi szögek, másrészt: B1B2P∢=C1C2P∢+B2QC2∢=C1C2P∢+B1QC1∢, mint háromszög külső szöge. Ezekből következik állításunk.
 

Megjegyzések: 1. Jánossy M. a Simson egyenesek tételének megfordításával kívánja bizonyítani a feladat állítását. Érdemes, komoly munkával (2 pont) részletes bizonyítást ad, de hiányzik annak megfontolása: megfordítható-e a tétel, s ha igen, hogyan szól a megfordítása.
Egy dolgozat kevésbé ismert tételeknek csak nevére hivatkozik, még a tétel állítását sem említve. Fel kell hívnunk olvasóink figyelmét, hogy a feladatmegoldások nem a szerkesztőség számára készülnek, hanem egymásnak kell elmondaniuk a lapon keresztül, amire rájöttek. Így az ilyenfajta megoldások nem elegendők.
2. Várható, hogy az F pontnak van valami szorosabb kapcsolata a négy egyenessel, s úgy is van. A négy egyeneshez rajzolható egy olyan parabola és csak egyetlen egy, melynek mind a négy egyenes érintője. Ennek a parabolának fókusza F (ezért is jelöltük így). Az irányvonalának is van valami hasonló tulajdonsága az meg átmegy mind a négy háromszög magassági pontján. (Lásd 168. feladat.)