Feladat: 134. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Zergényi Erzsébet 
Füzet: 1948/május, 124 - 125. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tetraéderek, Háromszögek hasonlósága, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1947/december: 134. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder csúcsait A, B, C, D-vel (39. ábra).

 
39. ábra
 

Legyen a két egyenlő él AB és CD, végül egy AB és CD-vel párhuzamos sík messe a AC, CB, BD, DA éleket P, Q, R, S-ben, akkor a metszet PQ és RS oldalai párhuzamosak AB-vel, mert egy-egy rajta átmenő és egy vele párhuzamos sík metszésvonalai, s így egymással is párhuzamosak. Hasonlóan PS‖CD‖QR, vagyis a metszésidom parallelogramma és kerülete k=2(PQ+PS). Mivel ACD▵∼APS▵ és CAB▵∼CPQ▵, innen PSCD=APAC, PQAB=PCAC s így CD=AB folytán PS+PQ=AP⋅CD+PC⋅ABAC=AP+PCAC⋅AB=AB, tehát k=2AB, függetlenül attól, hogy milyen magasságban metszettük át a tetraédert.
 

Zergényi Erzsébet (Soproni áll. lgimn. VI. o.)