Kezdőlap


Feladat:	133. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czipszer J. , Gacsályi S. , Gehér L. , Károlyházi F. , Kővári T. , Madarassy Gy. , Róna P. , Szépfalussy P. , Tarnóczi Tivadar
Füzet:	1948/május, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/december: 133. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen a tetraéder térfogata $K$ , oldallapjai $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . A $P$ pontból a csúcsokhoz húzott egyenesek a tetraédert 4 tetraéderre bonthatják. Az $a$ , $b$ , $c$ , $d$ alapú résztetraéderek térfogatát jelöljük $K_{a}$ , $K_{b}$ , $K_{c}$ , $K_{d}$ -vel. Nyilvánvalóan

\begin{matrix} \frac{K_{a}}{K} = \frac{p_{a}}{m_{a}}; \frac{K_{b}}{K} = \frac{p_{b}}{m_{b}}; \frac{K_{c}}{K} = \frac{p_{c}}{m_{c}}; \frac{K_{d}}{K} = \frac{p_{d}}{m_{d}} . \end{matrix}

Ezeket összegezve:

\begin{matrix} \frac{p_{a}}{m_{a}} + \frac{p_{b}}{m_{b}} + \frac{p_{c}}{m_{c}} + \frac{p_{d}}{m_{d}} = \frac{K_{a} + K_{b} + K_{c} + K_{d}}{K} = \frac{K}{K} = 1. \end{matrix}

b) Ez esetben a

K_{a}

K_{b}

K_{c}

K_{d}

térfogatokból úgy nyerhetjük vissza

K

-t, ha ezen résztetraéderek közül, azoknak összegéből, melyek alaplapjuknak ugyanarra az oldalára esnek, mint az eredeti tetraéder, levonjuk azokat, melyek az eredeti tetraéderrel közös lapjuknak a másik oldalára esnek, mint az eredeti tetraéder. Adjunk ennek megfelelően a távolságoknak előjelet úgy, hogy a térfogatok az első csoportban pozitív, a másodikban negatív előjelűeknek adódjanak. Egy oldaltól való távolság legyen pozitív, ha az oldallap síkjának ugyanarra az oldalára esik, mint a tetraéder, ha pedig az ellenkező oldalára, akkor negatív. Ez esetben előző számításunk változtatás nélkül helyes marad.

Tarnóczi Tivadar (Bp.-i Evangélikus gimn. VIII. o.)