Kezdőlap


Feladat:	129. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csernók L. , Czipszer J. , Eisler Ottó , Fogarassy B. , Gehér László , Gnóth M. , Kővári T. , Lichtenstein J. , Párkány M. , Seregély Gy. , Szépfalussy P. , Tarnay Gy. , Tarnóczy T. , Vermes R. , Zergényi Erzsébet
Füzet:	1948/május, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/december: 129. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás: Legyenek a háromszög szögei $α \leq β \leq γ$ .
Ekkor: $1^{\circ} \leq α \leq 60^{\circ}$ ; $α \leq β \leq [\frac{180^{\circ} - α}{2}]$ ; $α$ -t és $β$ -t ismerve, $γ = 180^{\circ} - α - β$ már egyértelműen meg van határozva. Az egy $α$ -hoz választható $β$ -k száma $[\frac{180^{\circ} - α}{2}] - α + 1$ s így a keresett háromszögek száma $N = \sum_{α = 1}^{60} ([\frac{180^{\circ} - α}{2}] - α + 1)$ . Kettéválasztva a páratlan és páros $α$ -khoz tartozó tagokat ( $α = 2 k - 1$ , ill. $α = 2 k$ -t írva):

\begin{matrix} N = \sum_{k = 1}^{30} {[\frac{180 - (2 k - 1)}{2}] - (2 k - 1) + 1} + \\ + \sum_{k = 1}^{30} ([\frac{180 - 2 k}{2}] - 2 k + 1) = \\ = \sum_{k = 1}^{30} {([90 - k] - 2 k + 2) + ([90 - k] - k + 1)} = \\ = \sum_{k = 1}^{30} (183 - 6 k) = 177 + 171 + 165 + ... + 9 \mp 3 = \frac{30 \cdot 180}{2} = 2700. \end{matrix}

Gehér László (Zalaegerszegi gimn. VII. o.)

II. Megoldás: Csak két szög változásait kell figyelembe vennünk, mert a harmadik ezekkel meg van határozva. A három szög összegének

180^{\circ}

-nak kell lennie. Ha

α (\leq 178^{\circ})

-ot megadjuk,

β 1

‐ től

179^{\circ} - α

-ig minden értéket felvehet. Tehát ha az összes lehetőséget vesszük, 1-től 178-ig az egész számok összegét kapjuk. Ezek összege 15931. Ebben azonban minden olyan háromszöget hatszor kaptunk meg, melynek szögei különbözőek, mert

α

értékeiben előfordul a háromszög mindhárom szöge és minden esetben a másik két szög mindegyike előfordul

β

értékeiben. Az egyenlőszárú háromszögek csak háromszor fordulnak elő, pl. a

26^{\circ}

77^{\circ}

77^{\circ}

-os háromszög, ha

α = 26^{\circ}

, továbbá, ha

β = 26^{\circ}

(

α = 77^{\circ}

), végül, ha

γ = 26^{\circ}

(

α = β = 77^{\circ}

). Az egyenlőoldalú háromszög csak egyetlen egyszer szerepel. Egyenlőszárú háromszög 89 van, és ezek közül az egyenlőoldalút külön kell számítanunk. Hogy ezek is hatszor szerepeljenek a többi háromszög között,

3 \cdot 88

-at adunk hozzá a nyert számhoz s hogy 6-szor számítsuk az egyenlőoldalú háromszöget, még 5-öt. Így

15931 + 3 \cdot 88 + 5 = 6 \cdot 2700

, tehát

N = 2700

Eisler Ottó (Bp.-i Cisztercita gimn. V. o.)