Kezdőlap


Feladat:	125. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi E. , Bencsik Ilona , Czipszer J. , Fried Ervin , Gaál I. , Gacsályi S. , Gehér L. , Gősy S. , Gömöri Katalin , Jankó B. , Károlyházi F. , Kocsis K. , Kővári T. , Madarassy Gy. , Párkány M. , Perjes P. , Róna P. , Személyi J. , Szépfalussy P. , Tamás Hugó , Tarnay Gy. , Vághelyi Éva és Zsuzsa , Vermes R. , Zergényi Erzsébet
Füzet:	1948/május, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/december: 125. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás:

\begin{matrix} \sqrt[^{3}]{\sqrt[]{52} + 5} - \sqrt[^{3}]{\sqrt[]{52} - 5} = \sqrt[^{3}]{2 \sqrt[]{13} + 5} - \sqrt[^{3}]{2 \sqrt[]{13} - 5} = \\ = & \sqrt[^{3}]{\frac{16 \sqrt[]{13} + 40}{8}} - \sqrt[^{3}]{\frac{16 \sqrt[]{13} - 40}{8}} = \sqrt[^{3}]{\frac{1 + 3 \sqrt[]{13} + 39 + 13 \sqrt[]{13}}{8}} - \\ - & \sqrt[^{3}]{\frac{- 1 + 3 \sqrt[]{13} - 39 + 13 \sqrt[]{13}}{8}} = \sqrt[^{3}]{{(\frac{1 + \sqrt[]{13}}{2})}^{3}} - \sqrt[^{3}]{{(\frac{- 1 + \sqrt[]{13}}{2})}^{3}} = 1. \end{matrix}

Fried Ervin (Bp.-i b. Kemény Zs. reál VII. o.)

II. Megoldás: Legyen

y = \sqrt[^{3}]{\sqrt[]{52} + 5} z = \sqrt[^{3}]{\sqrt[]{52} - 5}

. A keresett szám:

x = y - z

valós és pozitív. Emeljük harmadik hatványra:

\begin{matrix} x^{3} = {(y - z)}^{3} = y^{3} - z^{3} - 3 y z (y - z) . \end{matrix}

y^{3} - z^{3} = 10

y z = \sqrt[^{3}]{52 - 25} = \sqrt[^{3}]{27} = 3

, tehát

x

eleget tesz a következő egyenletnek:

\begin{matrix} x^{3} + 9 x - 10 = 0. \end{matrix}

x^{3} + 9 x - 10 = (x - 1) (x^{2} + x + 10)

, tehát ezen egyenlet gyökei 1,

- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt[]{39}}{2}

- \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt[]{39}}{2}

. Mivel az utóbbi kettő komplex szám,

x = 1

kell, legyen.

Tamás Hugó (Szombathely, Faludi F. gimn. VII. o.)