$p^2+2=\left(p-1\right)\cdot \left(p+1\right)+3$. Ez osztható 3-mal, ha $p$ nem 3, mert akkor, mivel $p$ törzsszám, osztható sem lehet 3-mal, így vagy az előtte, vagy az utána lévő szám, tehát az első tag mindenesetre osztható 3-mal. Törzsszám csak úgy lehet tehát, ha egyenlő 3-mal, vagyis, ha $p=1$. 1-et azonban nem szokás törzsszámnak nevezni (nem jön számba, mint törzstényező). Így egyedül $p=3$ lehet megoldás és ekkor $p^2+2=11$ valóban törzsszám.