Kezdőlap


Feladat:	118. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gehér L. , Kővári T. , Személyi J. , Tarnóczi T. , Vermes R.
Füzet:	1948/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 118. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk a pénzeket 4, 4 és 5 darabból álló csoportokra. Jelöljük ezeket a csoportokat $a$ , $b$ , $c$ -vel. Tegyük először $a$ -t és $b$ -t mérlegre. Ha megbillen a mérleg, feltehetjük, hogy $a$ a könnyebb. Ekkor vagy $a$ -ban, vagy $b$ -ben van a hamis pénz és előbbi esetben könnyebb, utóbbiban nehezebb a többinél.

Ebben az esetben ‐ sorszámot adva minden csoportban a pénzdaraboknak ‐ a második mérésnél az

a_{1}

a_{2}

b_{1}

darabokból álló csoportot az

a_{3}

a_{4}

c_{1}

csoporttal hasonlítjuk össze. Ha egyensúly áll be, akkor

b_{2}

b_{3}

b_{4}

közül keressük a hamisat:

b_{2}

-t,

b_{3}

-at hasonlítjuk össze. A nehezebb a hamis, ha meg egyensúlyban vannak, akkor a harmadik.

Ha a második mérésnél az első csoport könnyebbnek bizonyul, akkor

a_{1}

és

a_{2}

, ha nehezebbnek, akkor

a_{3}

a_{4}

b_{1}

közt van a hamis pénz. (Miután az

a

csoportban ha van, akkor csak könnyebb, a

b

-ben csak nehezebb lehet a jó pénzeknél.) Mindkét esetben a két

a

-ból való pénzt hasonlítjuk össze. A könnyebbik, egyensúly esetén a még hamis‐gyanús

b

-beli pénzdarab a hamis.

Ha az első mérés alapján

c

-ben van a hamis pénz, akkor a második mérésnél ebből két pénzt teszünk az egyik serpenyőbe, a másikba egyet meg egy jó pénzt. Egyensúly esetén harmadszorra a visszamaradt pénzdarabok közül az egyiket összehasonlítjuk egy jó pénzzel. Ha egyensúly van, akkor a másik a hamis ellenkező esetben megtudjuk, hogy a hamis pénz könnyebb-e vagy nehezebb a jónál.

Ha másodszorra a jó pénzt tartalmazó serpenyő például nehezebb a másiknál, akkor a mellette lévő hamisgyanús pénz csak nehezebb, a másik serpenyőben lévők csak könnyebbek lehetnek a jó pénznél, ha nem jók. Így a két utóbbi pénzdarab összehasonlítása ismét megmondja, melyik pénzdarab hamis és hogy az nehezebb-e vagy könnyebb a jó pénznél.

Három mérés tehát mindig elegendő a hamis pénz megkeresésére. Kettő nem lehet elegendő, mert az elsővel legfeljebb három részre tudjuk szétválasztani a pénzdarabokat, tehát mindig előfordulhat, hogy legalább négy pénzdarabból álló csoportról legfeljebb annyit tudunk, hogy köztük van a hamis pénz és az pl. csak könnyebb lehet a jóknál. Ekkor már még jó pénzek segítségével sem kereshető ki a hamis pénz, csak szerencsével, mert megint csak három csoport közt tudunk különbséget tenni és azok közül egyben legalább két pénzdarab lesz.