Mivel az $x$, $y$, $z$ gyökök egymással felcserélhetők, feltehetjük, hogy $x\le y\le z$. Ha $z=0$, akkor $x=y=0$, mert egyik sem lehet pozitív és $x+y=0$. A továbbiakban elég, az olyan megoldásokat keresni, melyben $z>0$, mert a többit ezekből $-1$-gyel való végigszorzással kapjuk, mert akkor csak $-1$-gyel szorzódik az egyenlet mindkét oldala.
Ha $z>0$ és $x\le y\le z$, akkor $xyz\le 3z$ és innen $xy\le 3$. Ha $xy=0$, akkor $x+y+z=0$ és $x$, $y$ közül az egyik is 0, tehát $y=0$, $x=-z$. Nem lehet $x$ is, $y$ is negatív, mert akkor $x+y+z<z$ volna; de másrészt mivel $x$ is, $y$ is egész, $x+y+z=xyz\ge z$, ami lehetetlen. Nem lehet egyik negatív, másik pozitív szám sem, mert akkor a megoldás negatívja is megoldás volna és abban az egyik érték pozitív, a másik kettő negatív lenne és épp most láttuk, hogy ilyen megoldás nem lehet. Keressük még a pozitív megoldásokat. Láttuk, hogy $xy\le 3$, másrészt $x+y=z\left(xy-1\right)$ pozitív kell, hogy legyen, tehát $xy>1$. Így két eset lehetséges: $x=1$, $y=2$, $z=x+y=3$; $x=1$, $y=3$, de ez már $z$-re 2-t ad, ami az előbbiből felcseréléssel keletkezik. Az összes megoldás tehát az 1, 2, 3, továbbá a $-a$, 0, $a$ számok, ahol $a$ tetszőleges egész szám, továbbá az ezekből tetszőleges felcseréléssel, vagy $-1$-gyel való végigszorzással keletkező számok.