Kezdőlap


Feladat:	115. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gacsályi S. , Gehér L. , Kővári T. , Vermes R.
Füzet:	1948/február, 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 115. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) 7 egymásutáni szám közt mindig van 7-tel osztható, tehát biztosan osztható 7-tel a szorzatuk, tehát $x$ minden egész értékére a következő szorzat is:

\begin{matrix} (x - 3) (x - 2) (x - 1) x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = \\ = x^{7} - x + (- 14 x^{5} + 49 x^{2} - 35 x) . \end{matrix}

Könnyű látni, hogy a kifejezés minden egész

x

-re osztható az első 7 szám szorzatával:

7! = 5040

-nel is. 7-tel osztható marad a kifejezés, ha elhagyunk belőle olyan tagokat, melyek együtthatója osztható 7-tel; tehát az

x^{7} - x

kifejezés is minden egész

x

-re osztható 7-tel.
b) 4 egymásutáni szám közt mindig van egy 3-mal, meg egy 4-gyel osztható (és még egy páros), tehát

\begin{matrix} x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x^{4} - x^{2} + 6 x {(x + 1)}^{3} \end{matrix}

mindig osztható 12-vel (

4! = 24

-gyel is). A második tagban vagy

x

, vagy

x + 1

páros, s így az külön is osztható 12-vel, tehát

x^{4} - x^{2} = (x - 1) x^{2} (x + 1)

mindig osztható 12-vel, ami közvetlenül is könnyen belátható.

Megoldotta: Gacsályi S., Gehér L., Kővári T., Vermes R.