Kezdőlap


Feladat:	114. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gehér L. , Gősy S. , Kővári Tamás , Tóth Ilona , Vermes R.
Füzet:	1948/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 114. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A beküldők egy része beérte azzal, hogy az összeg egyes tagjait bővítette a kimaradt tényezővel. Ezzel tán valamivel tetszetősebb alakot nyert az összeg, de kiszámítani valamilyen $n$ -re semmivel sem könnyebb s egyéb előnye sem látszik. Elindulásnak minden esetre jó ez a bővítés.

I. Megoldás:

\frac{1}{(k + 1) \cdot (k - 1)!} = \frac{k}{(k + 1)!} = \frac{k + 1 - 1}{(k + 1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k + 1)!}

. Ezt az átalakítást az összeg minden tagjában elvégezve:

\begin{matrix} (1 - \frac{1}{2!}) + (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}) + ... + (\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}) = \\ = 1 - \frac{1}{(n + 1)!} \end{matrix}

Kővári Tamás (Bp.-i Evangélikus gimn. VIII. o.)

II. Megoldás: Jelöljük a kérdéses összeget

S_{n}

-nel. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy

S_{n} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!}

\begin{matrix} n = 1 -re igaz a tétel: S_{1} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2!} . \end{matrix}

Most megmutatjuk, hogy ha valamely

n

-re igaz az állítás, akkor ebből az is következik, hogy az utána következő számra,

n + 1

-re is igaz. Mintegy átöröklődik minden egész számról a következőre s így minden

n

-re igaz.

Valóban, ha

S_{n} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!}

, akkor

\begin{matrix} S_{n + 1} = S_{n} + \frac{1}{(n + 2) n!} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{1}{(n + 2) n!} = \\ = 1 + \frac{- (n + 2) + (n + 1)}{(n + 2)!} = 1 - \frac{1}{(n + 2)!} . \end{matrix}

Megoldotta: Gehér L., Gősy S., Vermes R.