Kezdőlap


Feladat:	113. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gacsályi Sándor , Gehér L. , Kővári T.
Füzet:	1948/február, 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 113. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a háromszög oldalai $a \geq b \geq c$ . $b + c > a$ kell legyen, tehát $b$ mindig nagyobb mint $\frac{a}{2}$ . A legkisebb ilyen egészszám $[\frac{a}{2}] + 1$ . $b$ lehetséges értékei tehát $[\frac{a}{2}] + 1$ , $[\frac{a}{2}] + 2$ , $...$ , $a$ ; $c$ pedig $a - b + 1$ -től $b$ -ig mehet, tehát adott $b$ mellett $2 b - a$ különböző értéket vehet fel. Így az összes olyan egész háromszögek száma, melynek leghoszabb oldala $a$ :

\begin{matrix} N_{a} = (2 [\frac{a}{2}] - a + 2) + (2 [\frac{a}{2}] - a + 4) + (2 [\frac{a}{2}] - a + 6) + ... + a . \end{matrix}

Ez számtani sor, a tagok száma,

b

különböző lehetséges értékeinek száma:

a - [\frac{a}{2}]

, tehát

\begin{matrix} N_{a} = \frac{(a - [\frac{a}{2}]) {(2 [\frac{a}{2}] - a + 2) + a}}{2} = (a - [\frac{a}{2}]) ([\frac{a}{2}] + 1) \end{matrix}

a

páros:

a = 2 n N_{2 n} = n (n + 1)

,
ha

a

páratlan:

a = 2 n + 1 N_{2 n + 1} = {(n + 1)}^{2}

\begin{matrix} N_{2 n + 1} - N_{2 n} = (n + 1) (n + 1) - n (n + 1) = n + 1 \\ N_{2 n + 2} - N_{2 n + 1} = (n + 2) (n + 1) - (n + 1) (n + 1) = n + 1, \end{matrix}

tehát az

N_{1}

N_{2}

N_{3}

...

sorozat szomszédos tagjainak különbsége, az elején egyedülálló 1-től eltekintve, minden második esetben nő 1-gyel:

\begin{matrix} N_{k} : 1 2 4 6 9 12 16 20 25 30 36 42 49 ... \\ N_{k + 1} & - N_{k} : 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 ... \end{matrix}

Gacsányi Sándor (VIII. o.)

Megoldotta: Gehér L., Kővári T.