Kezdőlap


Feladat:	112. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár J. , Csernók L. , Gacsályi S. , Gehér L. , Gősy S. , Jankó B. , Kővári T. , Párkány M. , Tarnay Gy. , Tarnóczy T. , Vörös M.
Füzet:	1948/február, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Négyzetszámok összege, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 112. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a háromszög oldalai $a \geq b \geq c$ . $b + c > a$ kell legyen, tehát $b$ mindig nagyobb mint $\frac{a}{2}$ . A legkisebb ilyen egészszám $[\frac{a}{2}] + 1$ . $b$ lehetséges értékei tehát $[\frac{a}{2}] + 1$ , $[\frac{a}{2}] + 2$ , $...$ , $a$ ; $c$ pedig $a - b + 1$ -től $b$ -ig mehet, tehát adott $b$ mellett $2 b - a$ különböző értéket vehet fel. Így az összes olyan egész háromszögek száma, melynek leghoszabb oldala $a$ :

\begin{matrix} N_{a} = (2 [\frac{a}{2}] - a + 2) + (2 [\frac{a}{2}] - a + 4) + (2 [\frac{a}{2}] - a + 6) + ... + a . \end{matrix}

Ez számtani sor, a tagok száma,

b

különböző lehetséges értékeinek száma:

a - [\frac{a}{2}]

, tehát

\begin{matrix} N_{a} = \frac{(a - [\frac{a}{2}]) {(2 [\frac{a}{2}] - a + 2) + a}}{2} = (a - [\frac{a}{2}]) ([\frac{a}{2}] + 1) \end{matrix}

a

páros:

a = 2 n N_{2 n} = n (n + 1)

,
ha

a

páratlan:

a = 2 n + 1 N_{2 n + 1} = {(n + 1)}^{2}

.
Azon egész háromszögek száma, melyek oldalai nem hosszabbak 10 egységnél:

\begin{matrix} S_{10} = N_{1} + N_{2} + N_{3} + ... + N_{10} = \\ = 1 + 2 + 4 + 6 + 9 + 12 + 16 + 20 + 25 + 30 = 125. \\ (Általában S_{2 n} = N_{1} + N_{3} + N_{5} + ... + N_{2 n - 1} + N_{2} + N_{4} + N_{6} + ... + N_{2 n} = \\ = 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} + 1^{2} + 1 + 2^{2} + 2 + 3^{2} + 3 ... + n^{2} + n = \\ = 2 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n + 1)}{6} (4 n + 2 + 3) = \\ = \frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{6} \\ és S_{2 n + 1} = S_{2 n} + N_{2 n + 1} = \frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{6} + {(n + 1)}^{2} = \\ = \frac{n + 1}{6} (4 n^{2} + 5 n + 6 n + 6) = \frac{(n + 1) (n + 2) (4 n + 3)}{6}) . \end{matrix}

Gacsányi Sándor (VIII. o.)

Megoldotta mindkét feladatot: Gehér L., Kővári T.

Csak 112-t oldotta meg: Bognár J., Csernók L., Gősy S., Jankó B., Párkány M., Tarnay Gy. Tarnóczy T., Vörös M.