Kezdőlap


Feladat:	106. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi Emil , Czibere T. és Nagy F. , Gacsályi T. , Gehér L. , Kővári T. , Róna P. , Szépfalussy P. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Vörös M.
Füzet:	1948/február, 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola, mint kúpszelet, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 106. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(33. ábra.) $1^{\circ}$ . A hiperbola radius vektorai közt lévő szög felező egyenese a görbe érintője. Legyen $P$ a hiperbola egy pontja, $F_{1}$ , $F_{2}$ a fókuszai, $f$ a szögfelező egyenes. Az $F_{1}$ pontnak az $f$ -re vonatkozó tükörképe legyen $F$ .

33. a. ábra

Ez az

F_{2} P

radius vektoron fekszik. Ha

P_{1}

f

egyenes egy tetszőleges

P

-től különböző pontja, akkor

\begin{matrix} | F_{2} P_{1} - F_{1} P_{1} | - | F_{2} P_{1} - F P_{1} | < F_{2} F = \\ = | F_{2} P - F P | = F_{2} P - F_{1} P |, \end{matrix}

tehát

P_{1}

nem fekhet a hiperbolán.

2^{\circ}

. Parabola esetén az érintő felezi a rádiusz vektor és az irányvonalra húzott merőleges közti szöget. Valóban húzzuk meg ezt az

f

szögfelezőt. Az

F

fókusz

f

-re vonatkozó

F^{*}

tükörképe épp az irányvonalra bocsátott merőleges talppontja a parabola definíciója szerint. Ha

P_{1}

tetszőleges

P

-től különböző pont az

f

egyenesen és a belőle az irányvonalra bocsátott merőleges talppontja

Q

, akkor a tükrözés folytán

F P_{1} = F^{*} P_{1} > Q P_{1}

, tehát

P_{1}

nem pontja a parabolának.

33. b. ábra

Mindkét esetben megmutatható előző megjegyzésünkhöz hasonlóan, hogy minden más egyenes a

P

ponton keresztül kétszer metszi a görbét, így

f

valóban az érintő.

Aradi Emil (Szentendrei r. k. egyházközs. gimn. VIII. o.)

Megoldotta: Szépfalussy P., Tarnóczi T., Vörös M.

Analítikus megoldást küldött. Aradi E., Czibere T. és Nagy F., Gacsányi S., Gehér L., Kővári T., Róna P., Tamás I.