Kezdőlap


Feladat:	105. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aradi E. , Czibere T. és Nagy F. , Gacsályi S. , Gehér L. , Kővári T. , Párkány M. , Petrényi L. , Róna P. , Szépfalussy P. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Vörös M.
Füzet:	1948/február, 76 - 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/november: 105. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(32. ábra.) Legyen az ellipszis fókusza $F_{1}$ és $F_{2}$ egy tetszőleges pontja $P$ . Az $e$ egyenes felezze az $F_{1} P$ egyenes meghosszabbítása és az $F_{2} P$ egyenes közti szöget.

32. ábra

e

az ellipszis érintője, mert

P

az egyetlen közös pontja az ellipszissel. Tükrözzük ugyanis

F_{2}

-t az

e

egyenesre. Az

F

tükörkép az

F_{1} P

egyenes meghosszabbítására esik, mert

e

szögfelező. Legyen

P_{1}

e

egyenes egy tetszőleges

P

-től különböző pontja.

F_{1}

P_{1}

és

F

nem esnek egy egyenesbe, s így a háromszög oldalaira vonatkozó egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} F_{1} P_{1} + P_{1} F > F_{1} F = F_{1} P + P F . \\ A tükrözés folytán P_{1} F = P_{1} F_{2} és P F = P F_{2}, tehát \\ F_{1} P_{1} + P_{1} F_{2} > F_{1} P + P F_{2}, \end{matrix}

ez pedig az ellipszis definíciója szerint azt jelenti, hogy

P_{1}

nem fekhetik semmiképpen az ellipszisen.

Megoldotta: Aradi E., Szépfalusi P., Tarnóczi T., Vörös M.
Analitikus geometria segítségével : Aradi E., Czibere T. és Nagy F., Gacsányi S., Gehér L., Kővári T., Párkány M., Róna P., Tamás I.

Megjegyzés: A bizonyítás csak annyit mutat, hogy az

e

egyenesnek ésak egyetlen pontja közös az ellipszissel. Egy négyzet csúcsán pl. több olyan egyenes is húzható azonban, melynek a négyzettel nincs több közös pontja, de vonakodnánk ezeket a ,,négyzet érintői''-nek nevezni. Hogy az ellipszisnél nincs szó olyan pontról, amilyen a négyzet csúcsa, azt is meg lehet azonban mutatni, pontosabban azt, hogy a

P

ponton átmenő minden más

f

egyenesnek van még egy metszéspontja az ellipszissel. Az

f

egyenesen is van olyan

P_{0}

pont ‐ az előbbiek alapján könnyű meg is szerkeszteni

P_{0}

-t ‐ melyben az

F_{1} P_{0}

és

P_{0} F_{2}

f

egyenessel egyenlő hegyes szögeket zár be. Erre a pontra

F_{1} P + P F_{2} > F_{1} P_{0} + P_{0} F_{2}

. Ha a

P_{0}

-ból tovább haladunk az

f

P

-t nem tartalmazó felén, akkor az

F_{1}

és

F_{2}

-től való távolság összege ismét növekszik és tetszőlegesen nagy lesz, ha elég messzire mentünk az

f

egyenesen. Így valahol közben kell újra egy olyan

P_{1}

pontnak lennie, melyre

F_{1} P_{1} + P_{1} F_{2} = F_{1} P + P F_{2}

, mely tehát az ellipszisen fekszik.

P_{1}

és

P

különböző, mert

P_{0}

különböző oldalán feküsznek.
Szerk.