Kezdőlap


Feladat:	61. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1947/május, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 61. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Húzzunk

P

és

Q

-ból szelőket

O_{1}

, illetve

O_{2}

-n keresztül. Ekkor a hatvány definicíója értelmében

{P O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {P O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2}

;

{P O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {Q O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2}

, vagyis

{P O_{1}}^{2} - {Q O_{1}}^{2} = {P O_{2}}^{2} - {Q O_{2}}^{2}

, másképp

{P O_{1}}^{2} - {Q O_{2}}^{2} = {P O_{2}}^{2} + {Q O_{1}}^{2}

vagyis

P O_{1} Q O_{2}

négyszög szemközti oldalainak négyzetösszege megegyezik, tehát

P Q

és

O_{1} O_{2}

átlói merőlegesek egymásra.

b.)

Jelentse

R

P Q

és az

O_{1} O_{2}

metszéspontját. Az

R O_{1}

és az

R O_{2}

szelőkre nézve:

{R O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {P O_{1}}^{2} - {P R}^{2} - {r_{1}}^{2}

{R O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2} = {P O_{2}}^{2} - {P R}^{2} - {r_{2}}^{2}

, s így

{P O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {P O_{2}}^{2} \cdot {r_{2}}^{2}

miatt

{R O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {R O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2}

vagy

R

-nek

k_{1}

-re és

k_{2}

-re való hatványa megegyezik. Legyen

S P Q

tetszés szerinti pontja, akkor

{S O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {R O_{1}}^{2} - {S R}^{2} - {r_{1}}^{2}

és

{S O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2} = {R O_{2}}^{2} + {S R}^{2} - {r_{2}}^{2} = {S O_{1}}^{2} {r_{1}}^{2}

, mert

{R O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2} = {R O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2}

.
Legyen

T

olyan pont, melyre

{T O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = {T O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2}

. Legyen

T

-nek

O_{1} O_{2}

-re való vetülete

T'

. Ekkor

{T O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = T' O_{1}^{2} + T' T^{2} - {r_{1}}^{2} = {T O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2} = T' {O_{2}}^{2} + T' T^{2} - {r_{2}}^{2}

, vagyis

T'

{O_{1}}^{2} - {r_{1}}^{2} = T' {O_{2}}^{2} - {r_{2}}^{2}

. Az

O_{1} O_{2}

egyenes

T'

pontjának

k_{1}

és

k_{2}

-re vonatkozó hatványa egyenlő, tehát

T' = R

T

rajta van

P Q

-n.

c)	A $k$ és $k_{1}$ , illetve $k$ és $k_{2}$ hatványvonalainak metszéspontja legyen $M$ . Ekkor $M$ -nek $k_{1}$ és $k_{2}$ -re vonatkozó hatványa ugyanaz, mint $M$ -nek $k$ -ra vonatkozó hatványa, tehát a $k_{1}$ és $k_{2}$ -re vonatkozó hatványa egyenlő, vagyis rajta van a $P Q$ egyenesen.

d.)	A c.) alapján lehet $k_{1}$ és $k_{2}$ hatványvonalát megszerkeszteni. Egy $k$ körrel metszük ki $k_{1}$ és $k_{2}$ -t hatványvonalaik metszéspontjából $O_{1}$ és $O_{2}$ -re merőlegest kell szerkeszteni.