Kezdőlap


Feladat:	60. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1947/május, 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 60. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a.) állítás csaknem nyilvánvaló, ugyanis a $P R R'$ és $P B A$ szelőkre nézve a $k_{1}$ körön $P R \cdot P R' = P A \cdot P B$ , a $k_{2}$ körön pedig a $P A B$ és $P Q Q'$ szelőkre nézve $P A \cdot P B = P Q \cdot P Q'$ , tehát $P Q \cdot P Q' = P R \cdot P R'$ .

b.) Ha a

P

pontnak mindkét körre nézve ugyanaz a hatványa, akkor speciálisan ugyanaz az

A

ponton át húzott szelők szeleteinek szorzata mindkét körben. Legyen

P A

-nak

k_{1}

-gyel való másik metszéspontja

A_{1}

, a

k_{2}

-vel pedig

A_{2}

, akkor a hatványok egyenlőségéből:

P A \cdot P A_{1} = P A \cdot P A_{2}

, vagyis

P A_{1} = P A_{2}

. Ismerve, hogy a körre vonatkozó hatványt jelentő szorzatban a

P A

és

P A_{1}

távolságokat előjellel kell számítanunk, és pedig

P A

P A_{1}

egyező jelűek, így a fenti szorzatok egyenlőségét is előjellel kell értenünk. Ebből viszont a

P A_{1} = P A_{2}

egyenlőségre az következik, hogy

A_{1}

és

A_{2}

P

ponttól ugyanazon oldalra esnek és így

A_{1} = A_{2}

. Ez a pont a két kör metszéspontja:

B

. Így tehát

P

A

B

pontok egy egyenesen vannak, vagyis a

P

rajta van az

A B

egyenesen.