Kezdőlap


Feladat:	59. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1947/május, 4 - 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 59. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki tetszésszerinti négyszög esetén az

\begin{matrix} {A B}^{2} - {B C}^{2} + {C D}^{2} - {A D}^{2} \end{matrix}

kifejezés értékét!
Vetítsük e célból a

B

és

D

csúcsokat az

A C

átlóra, legyen

B'

és

D'

a talppontjuk:

\begin{matrix} A B^{2} - B C^{2} = A B'^{2} + B B'^{2} - B' C^{2} - B B'^{2} = A B'^{2} - B' C^{2} = (A B' + B' C) \cdot (A B' - B' C) . \end{matrix}

Hasonló számolással:

\begin{matrix} C D^{2} - A D^{2} = - (A D' + D' C) \cdot (A D' - D' C) . \end{matrix}

Így tehát:

\begin{matrix} A B^{2} - B C^{2} + C D^{2} - A D^{2} = A C (A B' - B' C - A D' + D' C) = \end{matrix}

\begin{matrix} = A C (- B' D' - B' D') = - 2 A C \cdot B' D' . \end{matrix}

A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}

, tehát

B' D' = 0

, ami akkor és csakis akkor következik be, ha

B D ⊥ A C