Kezdőlap


Feladat:	56. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1947/május, 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Beírt kör, Hozzáírt körök, Terület, felszín, Héroni számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 56. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A belülről, illetőleg az $a$ oldal felől kívülről érintő körök középpontjait jelöljük $O$ , illetve $O_{1}$ -gyel, sugaraikat $r$ , illetve $r_{1}$ -gyel. $O$ -t, illetve $O_{1}$ -et összekötve $A$ , $B$ , $C$ -vel a keletkező háromszögek területeire áll:

\begin{matrix} t_{A B C} = t_{A O B} + t_{B O C} + t_{C O A} = t_{A O_{1} B} - t_{B O_{1} C} + t_{C O_{1} A} \end{matrix}

O

, illetve

O_{1}

csúcsú háromszögek

a

b

c

oldalaira bocsátott magassága mind

r

-rel, mind

r_{1}

-gyel egyenlő, így

\begin{matrix} t_{A B C} = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = r_{1} \cdot \frac{b + c - a}{2}, \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} r = \frac{2 t}{u + b + c} és r_{1} = \frac{2 t}{b + c - a} racionálisak. \end{matrix}

Legyen a háromszög köré írt kör középpontja

K

, sugara

R

. Ha pl.

α

hegyesszög, a

B C = a

húrhoz tartozó középponti szög

2 α

, tehát a

K B C

egyenlő szárú háromszög alapja

a

, szemközti szöge

2 α

, szára

R

. Tehát

sin α = \frac{a / 2}{R}

R = \frac{a}{2 sin α}

racionális, mivel az előző feladat megoldása szerint

sin α

is az.