Feladat: 51. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1947/május, 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Kocka, Kombinatorika, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1947/január: 51. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számozzuk meg a kocka lapjait. A következő hálózatok lehetségesek:

 

 

1.4 lap sorakozik egymás után (1 élük közös) pl. az 1, 2, 3, 4 lapok és az 5, 6 lapok két oldalt helyezkednek el mellettük. A lehetséges hálózatok:
 
 

Több nincs. Az 5, 6 lapok nem lehetnek egy oldalon.
2.3 lap sorakozik egymás után, pl. az 1, 2, 3.
 Két eset van:
a.)az 5, 6 lap két oldalt helyezkedik el és a 4. lap az egyikhez ‐ mondjuk a 6-hoz ‐ csatlakozik, mert az 1, 2, 3 lapokhoz sorban nem csatlakozhat (4 lap állna egymás után) sem oldalról (az 5, vagy 6-os lappal kerülne a térben fedésbe). A 6-os lap, melyhez a 4-es csatlakozik, csak a sor szélén állhat. Tehát a lehetséges esetek az ábra szerintiek.
 
 

b.)az 5, 6 lapok egyik oldalon helyezkednek el. Ekkor a 4 lapnak közöttük kell lennie, mert 5 és 6 nem szomszédos lapok. Két ilyen eset van:
 

 


3.2 lap (pl. az 1, 2 ) sorakozik egymás után. Ekkor 5, 6 két oldalt van és az egyikhez (a 6-hoz) a 4-es, a másikhoz (5-höz) a 3-as. A lehetséges egyetlen eset:
 
 


Több eset nincs, mert legalább 2 lapnak kell mindig összefüggni.
Tehát a kockának a fenti 11 hálózata lehetséges.