Kezdőlap


Feladat:	48. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1947/május, 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 48. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $2$ -vel osztható számok alakja a következő:
$\begin{matrix} 2 k, ahol k=1, 2,..., 504k, ahol k=1, 2,..., 258k, ahol k=1, 2,..., 1216k, ahol k=1, 2,..., 632k, ahol k=1, 2, 364k, ahol k=1. \end{matrix}$
Tehát az összes $2$ -es tényezők száma: $50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$ . A szorzat $2^{97}$ -nel osztható.
A $3$ -mal való oszthatóság szempontjából a számok a $3 k$ , $9 k$ , $27 k$ , $81 k$ alakban írhatók. Ezekben a $k$ rendre $33$ , $11$ , $3$ , $1$ számú értéket vehet fel, azaz összesen $48$ -cat. A szorzat $3^{48}$ -nal osztható.
Az $5 k$ és $25 k$ alakú $100$ -nál kisebb összes számok száma $20 + 4 = 24$ . Így a szorzat $5^{24}$ -nel osztható.
Ugyanígy a szorzat $7$ -nek a $14 + 2 = 16$ -dik hatványával, $7^{16}$ -nal osztható.
Általában az $1$ -től $n$ -ig terjedő számok szorzatára nézve úgy állapíthatjuk meg, hogy a $p$ törzsszám melyik legnagyobb hatványával osztható, hogy elosztjuk az $n$ -et $p, p^{2}, p^{3}, ... p^{l}$ -nel, ahol $p^{l} ≧ n < p^{l + 1}$ és a kapott hányadosokat összeadjuk:

\begin{matrix} [\frac{n}{p}] + [\frac{n}{p^{2}}] + [\frac{n}{p^{3}}] + ... + [\frac{n}{p^{l}}] = m . \end{matrix}

Ekkor az

1

-től

n

-ig terjedő számok szorzata

p^{m}

-nel osztható.