Kezdőlap


Feladat:	47. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1947/május, 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékosztályok, Legnagyobb közös osztó, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 47. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$N = n^{4} - 1 = (n - 1) (n + 1) (n^{2} + 1)$ . Az $n$ nem osztható $2$ , $3$ , $5$ -tel, tehát:

n = 2 k + 1

lévén,

(n - 1)

és

(n + 1)

páros számok, mégpedig egymás után következők, és így az egyik még néggyel is osztható.

n^{2} + 1

is páros. Tehát

N

2^{4}

-nel osztható.

n = 3 k + 1

, vagy

n = 3 k - 1

, tehát vagy

n - 1 = 3 k

, vagy

n + 1 = 3 k

és

n^{2} + 1 = 9 k^{2} \pm 6 k + 2

nem osztható

3

-mal, tehát

N 3

-mal osztható.

n = 5 k \pm 1

, illetve

n = 5 k \pm 2

. Az első esetben

n - 1 = 5 k

, vagy

n + 1 = 5 k

n^{2} + 1 = 25 k^{2} \pm 10 k + 2

pedig nem osztható

5

-tel. A második esetben

n - 1

és

n + 1

nem osztható

5

-tel, de

n^{2} + 1 = 25 k^{2} \pm 20 k + 5

osztható

5

-tel. Tehát

N

mindig osztható

5

-tel, s így

N

mindig osztható

2^{4} \cdot 3 \cdot 5 = 240

-nel.

N = 240 k