Feladat: 46. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1947/május, 1 - 2. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Fizikai jellegű feladatok, Kombinatorika, Mértani sorozat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1947/január: 46. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 3-as számrendszerben minden 81-en aluli egész szám a következő alakba írható:

n=a⋅27+b⋅9+c⋅3+d,(I)
ahol a, b, c, d a 0, 1 és 2 értékeket veheti fel. Ha pedig csak a 0, +1 és -1 értékeket vehetik fel, akkor az előálló legnagyobb szám csak 40 lehet, mert 27+9+3+1=40. Azt állítjuk, hogy viszont így minden 41-nél kisebb egész számot elő lehet állítani. Tudniillik ilyen szám részére van egy (I.) alakú előállítás, ahol a=0, vagy 1, b, c, d pedig 0, 1, 2 lehet. Ha most d c b közül valamelyik 2 és az első ilyen pl. a d, akkor d=3-1-et írva és így
n=27a+9b+3(c+1)-1.
Ha c+1=2, akkor 3(c+1)=9-3-at írva:
n=27a+9(b+1)-3-1.
Ha pedig c+1=3, akkor
n=27a+9(b+1)-1,stb.
Végül az n a (I.) alakot ölti, ahol a, b, c, d a 0, 1, -1 értékeket veheti fel. Az a 2 nem lehet, mert így a legkisebb érték: 2⋅27-9-3-1=41 lenne, holott 41-en aluli számok előállításáról van szó. Ennek megfelelően az 1, 3, 9, 27gr-os súlyokkal minden 40gr-nál nem nehezebb egész számú súlyú test mérhető meg úgy, hogy a súlyokat bal, illetve a jobb oldali serpenyőbe tehetjük.
 

Általánosítás: Ha 1, 3, 9, ..., 3n gr-os súlyaink vannak, akkor minden 1+3+9+...+3n=3n+1-13-1-nél nem nagyobb egész számú súlyú test lemérhető velük. Végül, ha mindegyik súlyból két darab van, minden 3n+1-nél kisebb egész számú súlyú test lemérhető velük úgy is, hogy a súlyokat mindig ugyanabba a serpenyőbe tesszük csak.