Kezdőlap


Feladat:	45. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1947/május, 1. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szimmetrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/január: 45. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

II-ből: $\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{y z - z - y}{y z}$ és $x = \frac{y z}{y z - z - y}$ .
Ezt I-be téve: $\frac{y z}{y z - y - z} + y + z = 1$ .
Ezt rendezve:

\begin{matrix} (y + z) [y z - (y + z) + 1] = 0. \end{matrix}

(IV)

Két eset lehetséges:

a.)	$y + z = 0$ , ekkor I-ből $x = 1$ és $y = - z$ folytán III-ból $x y z = 1$ . $(- z) z = - z^{2} = a$ , $z = \pm \sqrt[]{- a}$ , $y = \mp \sqrt[]{- a}$ , $x = 1$ . Ez két megoldást jelent.

b.)	$y z - (y + z) + 1 = 0$ .

Ezt

x

-szel szorozva I és III-at tekintetbe véve:

\begin{matrix} x y z - x (y + z) + x = a - x (1 - x) + x = a + x^{2} = 0. \end{matrix}

Innen

x = \pm \sqrt[]{- a}

. Továbbá

y + z = 1 - x

y z = \frac{a}{x} = \frac{a}{\pm \sqrt[]{- a}} = - x

lévén

y

és

z

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} _^{2} - (1 - □)_- □ = 0. \end{matrix}

Innen

u = \frac{1 - x \pm (1 + x)}{2}

y = u_{1} = 1

z = u_{2} = - x = \mp \sqrt[]{- a}

.
Tehát:

x = \pm \sqrt[]{- a},

y = 1

z = \mp \sqrt[]{- a}

.
Ez ugyanaz, mint az (a.) esetben, csak az ismeretlenek értékei cserélődtek egymás között. Az ismeretlenek szimmetrikusak lévén, megoldás még a következő is:

x = \pm \sqrt[]{- a}

y = \mp \sqrt[]{- a}

z = 1

. Tehát összesen hat megoldás van.