Legyenek a háromjegyű szám jegyei: $a$, $b$, $c$. Minthogy a négyzeteik egyjegyűek, egyik sem nagyobb $3$-nál. Az $a$ 3 sem lehet, mert négyzete $9$, s így az eredmény hatjegyű lenne. Az $a$ 1 sem lehet, mert $2ab=2\cdot 1\cdot b=2b\le 6$ lenne, pedig kétjegyűnek kell lennie, tehát $a=2$. A $b=3$, mert $b=1$, illetve $b=2$ esetében $2ab=4\cdot 1=4$, illetve $8$, vagyis egyjegyű lenne. A $c=3$, mert $c=1$, illetve $c=2$ esetén $2\left(10a-b\right)\cdot c-23\cdot c-46c=46$, illetve $92$, tehát kétjegyű, pedig háromjegyűnek kellene lennie.
Tehát a keresett szám $233$.