Legyen $a$ egész szám. $b^2<a<{\left(b+1\right)}^2$, ahol $b$ is egész szám.
$\sqrt[]{a}=\frac{a-b\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a}-b}$, mert $\sqrt[]{a}\left(\sqrt[]{a}-b\right)=a-b\sqrt[]{a}$, tehát ha $\sqrt[]{a}=p/q$, akkor $\sqrt[]{a}=\frac{a-b\frac{p}{q}}{\frac{p}{q}-b}=\frac{aq-bp}{p-bq}$ és ha $q>0$, $\sqrt[]{a}>b$ miatt $p/q>b$, $p>bq$, $p-bq>0$ és $\sqrt[]{a}<b+1$, azaz $p/q<b+1$, $p<bq+q$, $p-bq<q$. Ha viszont $\sqrt[]{a}$ racionális volna, felírható volna $p/q$ alakban, ahol $p$, $q$ pozitív egész számok és úgy választhatók, hogy kisebb nevezővel nem lehet ilyen alakban írni.