Kezdőlap


Feladat:	C.353	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/november, 432 - 433. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: C.353

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a mester 1 óra alatt $x$ db kalácsot készít el, és naponta $t$ órát dolgozik, $(24 - t)$ órát pihen, akkor a feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{x}{t (24 - t)} = k (k az arányossági tényező). \end{matrix}

Innen

x = k t (24 - t)

, ez az 1 óra alatt elkészített kalácsok száma.
Ha

t

órát dolgozik, akkor

f (t) = k t^{2} (24 - t)

mennyiséget készít el. Ennek a függvénynek keressük a maximumát. Írjuk fel a deriváltfüggvényt:

\begin{matrix} f' (t) = k (484 t - 3 t^{2}) = k t (48 - 3 t) . \end{matrix}

A függvénynek a

t = 0

és

t = 24

helyeken kívül ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltfüggvény 0.
Ez utóbbi teljesül, ha

t = 0

(ez számunkra érdektelen), vagy ha

t = 16

.
Mivel az

f

függvény a

(0,16)

intervallumban monoton nő, 16-nál 0, a

(16, + \infty)

intervallumban csökken,

t = 16

-nál valóban maximuma van.
Tehát Bonifác mesternek 16 órát kell naponta dolgoznia, hogy a legtöbb kalácsot készíthesse el.
Megjegyzés. Deriválás helyett célra vezet a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség is. Eszerint

\begin{matrix} f (t) = 4 k (\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} \cdot (24 - t)) \leq 4 k {(\frac{\frac{t}{2} + \frac{t}{2} + (24 - t)}{3})}^{3} = 4 k \cdot 8^{3}, \end{matrix}

és egyenlőség pontosan akkor van, ha a

\frac{t}{2}

24 - t

tényezők egyenlők, azaz

t = 16