Kezdőlap


Feladat:	C.348	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakonyi Zoltán , Hegedűs Dalma , Méder Áron , Papp Ágnes , Sulyok Norbert , Vadkerti Krisztián
Füzet:	1994/október, 352 - 353. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Térfogat, Koszinusztétel alkalmazása, Tetraéderek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: C.348

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraéder térfogatát kétféleképpen írjuk fel, s ebből fogjuk a kívánt $m$ testmagasságot kiszámítani.

\begin{matrix} V = \frac{\frac{9 \cdot 16}{2} \cdot 12}{3} = \frac{T_{D B C ▵} \cdot m}{3} . \end{matrix}

D

csúcsból kiinduló élek három derékszögű háromszöget alkotnak, ezek átfogói:

\begin{matrix} B A = \sqrt[]{9^{2} + 12^{2}} = 15, A C = \sqrt[]{12^{2} + 16^{2}} = 20, B C = \sqrt[]{9^{2} + 16^{2}} = \sqrt[]{337} . \end{matrix}

A B C

háromszög területét a

T = \frac{b c sin α}{2}

képlettel számíthatjuk ki. Ehhez először a három oldal ismeretében felírjuk a koszinusztételt:

\begin{matrix} cos α = \frac{400 + 225 - 337}{2 \cdot 20 \cdot 15} = \frac{12}{25}, \end{matrix}

ebből

sin α = \sqrt[]{1 - cos^{2} α} = \frac{\sqrt[]{481}}{25}

. Így

\begin{matrix} V = \frac{\frac{9 \cdot 16}{2} \cdot 12}{3} = \frac{\frac{15 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt[]{481}}{25}}{2} \cdot m}{3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} m = \frac{9 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 25}{15 \cdot 10 \cdot \sqrt[]{481}} = \frac{144}{\sqrt[]{481}} \approx 6,5658 cm . \end{matrix}