Kezdőlap


Feladat:	C.340	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berki Csaba , Csík György , Demkó László , Hettyey János , Horváth Éva , Karádi Richárd , Kutalik Zoltán , Márki Sándor , Novák András , Papp Erika , Radnóti Gergely , Sarlós Ferenc , Schaffer Balázs , Sebestyén Dezső , Szabadszállási Tibor , Zsolt Ferenc
Füzet:	1994/április, 185 - 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Háromszög alapú hasábok, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: C.340

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Toljuk el a metsző síkot párhuzamosan úgy, hogy a metszetháromszög $A$ csúcsa az alapháromszög egyik csúcsába essen. Tegyük fel, hogy $A$ a derékszögű csúcs (1. ábra).
A tengelyes szimmetria miatt a hasáb másik két élét a metsző sík ugyanolyan magasságban metszi: $B E = C D$ .
Ebből következik, hogy $D E # C B = 1$ . Ekkor az $A E B$ derékszögű háromszögben $A E > A B = 1$ . Mivel az $A D E$ háromszög ugyancsak derékszögű, $D E = 1 > A E > 1$ , ellentmondás.
$D$ és $E$ tehát nem lehet az $A B C$ síktól egyenlő távolságra.
Legyen $C D = x$ , $B E = y$ , ahol $y > x$ (2. ábra).
Az $A D C △$ -ből

\begin{matrix} \begin{matrix} A D & = \sqrt[]{1 + x^{2}}, hasonlóan \\ A E & = \sqrt[]{1 + y^{2}}; \end{matrix} \end{matrix}

y > x

miatt

A E > A D

; azaz a derékszög a

D

csúcsnál van, és így

\begin{matrix} A D = A E = \frac{1}{\sqrt[]{2}} A E . \end{matrix}

D E F

háromszögből:

\begin{matrix} E D = \sqrt[]{1 + {(y - x)}^{2}} azaz \sqrt[]{1 + {(y - x)}^{2}} = \sqrt[]{1 + x^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} {(y - x)}^{2} = x^{2}, s mivel y - x > 0, azért \end{matrix}

Behelyettesítve (1)-be és (2)-be

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} \sqrt[]{1 + 4 x^{2}} = \sqrt[]{1 + x^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

x^{2} = \frac{1}{2}

A D = \sqrt[]{\frac{3}{2}}

és

A E = \sqrt[]{3}