Kezdőlap


Feladat:	C.334	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázsik Helga , Kiss Márk , Lakatos-Tóth Andor , Tubak Péter , Walter Tamás , Zaletnyik Piroska
Füzet:	1994/szeptember, 304 - 305. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: C.334

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdésre a válasz igenlő. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. Jelölje $A_{n}$ a $3^{n}$ db csupa 1-es számjeggyel leírt számot.
$n = 1$ esetén az állítás igaz, hiszen $A_{1} = 111 = 3 \cdot 37$ . Tegyük fel, hogy a $3^{k}$ db csupa 1-es számjeggyel leírt szám osztható 3-mal, azaz

\begin{matrix} 3^{k} | {\underset{︸}{11 ... 1}}_{3^{k} d b}^{} = A_{k} \end{matrix}

Azt kell bizonyítanunk, hogy akkor a

3^{k} + 1

db csupa 1-es számjegyből álló szám osztható

3^{k} + 1

-nel.
A

3^{k} + 1

db 1-esből álló számot kapjuk, ha háromszor egymás után leírunk

3^{k}

db 1-es számjegyet:

\begin{matrix} A_{k + 1} = {\underset{︸}{11 ... 1}}_{3^{k} d b}^{} {\underset{︸}{11 ... 1}}_{3^{k} d b}^{} {\underset{︸}{11 ... 1}}_{3^{k} d b}^{} . \end{matrix}

A helyiértékeket figyelembe véve a kapott szám

\begin{matrix} A_{k + 1} = A_{k} (100^{3^{k}} + 10^{3^{k}} + 1) . \end{matrix}

A zárójelben álló szám osztható 3-mal, hiszen a 10-es számrendszerben felírva 3 db 1-es számjegye van, a többi 0, vagyis számjegyeinek összege osztható 3-mal.
Tehát, ha

A_{k}

osztható

3^{k}

-nal, akkor

A_{k + 1}

osztható

3 \cdot 3^{k} = 3 k + 1

-nel.

Zaletnyik Piroska (Budapest, Jedlik Ányos Gimn., I. o. t.)

Megjegyzések. 1. A feladatban az 1-es számjegynek nincs lényeges szerepe. A bizonyítás ugyanígy elvégezhető pl. csupa 7-es vagy bármely más számjegy esetén.

Kiss Márk (Tiszaújváros, Eötvös József Gimn., I. o. t.)

2. Sokan ‐ helytelenül ‐ arra alapoztak, hogy ha

3^{n}

osztója egy egész szám számjegyei összegének, akkor osztója magának a számnak is. Ez csak

n = 1,2

esetén van mindig így.

n = 3

-ra már könnyen találunk ellenpéldát. Például 1989 nem osztható 27-tel, jóllehet számjegyeinek összege 27.