Kezdőlap


Feladat:	C.316	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Kocka, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: C.316

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az elkészítendő kocka élét $x$ -szel, és számoljuk meg, hány egységnyi élű kockát használtunk fel az üres kocka kirakásához.
Az alap- és fedőlapon összesen $2 x^{2}$ darab kockát helyeztünk el, az elő- és hátlapon $2 x (x - 2)$ darabot, a fennmaradó két szemközti oldallapon pedig $2 (x - 2) (x - 2)$ darabot.

A felhasznált kis kockák száma legfeljebb

1000

lehet, vagyis

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 2) \leq 1000. \end{matrix}

Rendezve, a következő másodfokú egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} 3 x^{2} - 6 x - 496 \leq 0. \end{matrix}

Látjuk, hogy a megfelelő másodfokú egyenletnek két különböző előjelű gyöke van, tehát a pozitív gyök a legnagyobb olyan

x

érték, amelyre az egyenlőtlenség teljesül:

\begin{matrix} x = \frac{6 + \sqrt[]{5988}}{6} \approx 13, 89. \end{matrix}

Mivel a megoldás csak egész szám lehet,

x = 13

. Ekkor

866

darab kockát használtunk fel, és a keresett térfogat

V = x^{3} = 2197

térfogategység.