Kezdőlap


Feladat:	C.314	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1994/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: C.314

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $\bar{A B C D}$ négyjegyű szám átírható $100 \bar{A B} + \bar{C D}$ alakba, ezt írjuk be $(1)$ -be, és alakítsuk át

\begin{matrix} \begin{matrix} 100 \bar{A B} + \bar{C D} & = & \bar{A B} (\bar{C D} + \bar{A B}), tovább rendezve \\ 99 \bar{A B} + \bar{A B} + \bar{C D} & = & \bar{A B} (\bar{C D} + \bar{A B}), \\ 99 \bar{A B} & = & (\bar{A B} - 1) (\bar{A B} + \bar{C D}) . \end{matrix} \end{matrix}

(\bar{A B} - 1) = x

jelöléssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} 99 = x (\bar{C D} + x - 98), \end{matrix}

azaz

x

osztója

99

-nek. Másrészt

x = \bar{A B} - 1

miatt (ahol

\bar{A B}

egy kétjegyű szám, s mint ilyen, legalább

10

és legfeljebb

99

)

9 \leq x \leq 98

. Három ilyen szám van

99

osztói között:

9

11

és

33

.
Ha

x = 9

, akkor

\bar{C D} = 100

adódna, ami lehetetlen.
Ha

x = 11

, akkor

\bar{A B} = 12

és

\bar{C D} = 96

, a négyjegyű szám pedig

1296

.
Ha

x = 33

, akkor

\bar{A B} = 34

és

\bar{C D} = 68

, a négyjegyű szám pedig

3468

.
Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a két utóbbi szám eleget tesz az eredeti egyenletnek.