Kezdőlap


Feladat:	C.296	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1993/április, 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: C.296

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messe az $e$ egyenes az $S_{1}$ síkot $A$ -ban, az $S_{2}$ -t $B$ -ben. Bocsássunk $A$ -ból, illetőleg $B$ -ből merőlegeseket a két sík metszésvonalára, a talppontokat jelölje $A_{1}$ , ill. $B_{1}$ .

A B A_{1}

háromszög és az

A B B_{1}

háromszög egybevágó, mivel mindkettő derékszögű,

A B

oldaluk közös és

A B A_{1} ∢ = B A B_{1} ∢ = 30^{\circ}

e S_{2}

, ill.

e S_{1}

hajlásszöge; tehát

A_{1} A = B_{1} B = a

. Mérjük fel ezt a távolságot az

A_{1}

pontban

S_{1}

-re állított merőlegesre:

A_{2}

pont, majd a

B_{1}

pontban az

S_{2}

-re állított merőlegesre:

B_{2}

pont. Az

A A_{1} A_{2}

egyenlő szárú derékszögű háromszögben

A A_{2} = a \sqrt[]{2}

. Az

A B B_{1}

derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög

30^{\circ}

, s ezért

A B = 2 B B_{1} = 2 a, A B_{1} = a \sqrt[]{3}

.
Az

A A_{1} B_{1}

derékszögű háromszögből Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} A_{2} B = A_{1} B_{1} = \sqrt[]{A B_{1}^{2} - A A_{1}^{2}} = \sqrt[]{{(a \sqrt[]{3})}^{2} - a^{2}} = a \sqrt[]{2}, \end{matrix}

vagyis az

A A_{2} B

háromszög egyenlő szárú

(A A_{2} = A_{2} B)

és derékszögű; ezért

A_{2} B A ∢ = 45^{\circ}

. Mivel

A_{1} B_{1} | | A_{2} B

, azért az

A_{2} B A

szög egyenlő az

e

egyenes és a két sík metszésvonalának hajlásszögével.