Kezdőlap


Feladat:	C.294	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szentzi György
Füzet:	1993/április, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Magasságvonal, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: C.294

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a derékszögű háromszög befogóit $a$ -val és $b$ -vel ( $a \leq b$ ), az átfogóhoz tartozó magasságot $m$ -mel.
A háromszög területét kétféleképpen felírva

\begin{matrix} \frac{a b}{2} = \frac{c m}{2}, \end{matrix}

négyzetreemelés és rendezés után

m^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

. Nyilván

m < a

, s így a magasságokra a feltétel szerint felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:

\begin{matrix} a^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = b^{2} . \end{matrix}

Elvégezve a műveleteket és rendezve:

\begin{matrix} a^{4} - b^{4} + a^{2} b^{2} = 0. \end{matrix}

Az egyenletet végigosztva

a^{2} b^{2} \neq 0

-val kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{b^{2}}{a^{2}} + 1 = 0, \end{matrix}

\frac{a^{2}}{b^{2}} = x

új változó bevezetésével az

x - \frac{1}{x} + 1 = 0

másodfokú egyenlethez jutunk, melynek gyökei:

x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{5}}{2}

. Ezek közül csak a pozitív gyök jön számításba, azaz

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \sqrt[]{\frac{- 1 + \sqrt[]{5}}{2}} \approx 0, 786. \end{matrix}

Szentzi György (Székesfehérvár, 323. sz. Vörösmarty M. Ip. Szki., II. o. t.)