Kezdőlap


Feladat:	C.291	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1993/január, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Indirekt bizonyítási mód, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: C.291

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel miatt a feladatnak csak $n \geq 2$ -re van értelme.
Az $x^{2} + a_{k} x + b_{k} = 0$ másodfokú egyenletnek akkor van valós megoldása, ha a diszkriminánsa $D = a_{k}^{2} - 4 b_{k} \geq 0.$
Tegyük fel, hogy egyik egyenletnek sincs valós gyöke, vagyis mindegyik $k$ -ra $a_{k}^{2} < 4 b_{k} .$ Ekkor

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2} < 4 \sum_{k = 1}^{n} b_{k} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + ... + a_{n} a_{1} . \end{matrix}

Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát

2

-vel:

\begin{matrix} 2 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}) < 2 (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + ... a_{n} a_{1}) . \end{matrix}

Átalakítva:

\begin{matrix} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} - 2 a_{1} a_{2}) + (a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - 2 a_{2} a_{3}) + ... + (a_{n}^{2} + a_{1}^{2} - 2 a_{n} a_{1}) < 0. \end{matrix}

Ez azonban lehetetlen, hiszen mindegyik zárójelben két tag különbségének négyzete szerepel, ami nem lehet negatív.
Ellentmondásra jutottunk, vagyis az egyenletek között létezik olyan, amelyiknek van valós gyöke.