Kezdőlap


Feladat:	C.283	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Rácz Andrea
Füzet:	1992/október, 314 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Alakzatba írt kör, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: C.283

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $r$ a kérdéses sugarat, az 1 cm, 2 cm, 3 cm, $r$ sugarú körök középpontját pedig rendre $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O_{3}$ , $O_{r}$ .

Érintkező körök középpontjainak távolsága a sugaraik összege, ill. különbsége:

\begin{matrix} O_{1} O_{r} = 1 + r; \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} O_{1} O_{3} = 2; \end{matrix}

Írjuk fel a koszinusz-tételt az

O_{1} O_{2} O_{r}

és az

O_{1} O_{3} O_{r}

háromszögekre

(α = O_{2} O_{1} O_{r} ∢)

\begin{matrix} {(2 + r)}^{2} = 3^{2} + {(1 + r)}^{2} - 6 (1 + r) cos α, \\ {(3 - r)}^{2} = 2^{2} + {(1 + r)}^{2} - 4 (1 + r) cos α . \end{matrix}

Az első egyenlőség szerint

cos α = \frac{3 - r}{3 (1 + r)}

, a második szerint

cos α = \frac{2 r - 1}{1 + r}

. Ezek összevetéséből

r = \frac{6}{7}

adódik, vagyis a keresett kör sugara

\frac{6}{7}

Rácz Andrea (Dunaföldvár, Magyar L. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A feladat megoldható a Pitagorasz-tétel felhasználásával, vagy koordináta-geometriai módszerekkel is.