Kezdőlap


Feladat:	C.282	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bagyinszki Róbert
Füzet:	1992/október, 314. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Mértani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: C.282

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mértani sorozat $n$ -edik tagját jelölje $a_{n}$ , hányadosát $q$ . Tekintsük azt a $(b_{n})$ sorozatot, amelynek tagjai:

\begin{matrix} b_{n} = a_{2 n - 1} + a_{2 n} (n = 1, 2, 3) . \end{matrix}

(b_{n})

szintén mértani sorozat, amelynek hányadosa

q^{2}

. A feladat szerint

\begin{matrix} b_{1} = a_{1} + a_{2} = 80, \\ b_{1} + b_{2} + b_{3} = b_{1} (1 + q^{2} + q^{4}) = 665, \\ ezért & 1 + q^{2} + q^{4} = \frac{665}{80}, \\ azaz & 16 q^{4} + 16 q^{2} - 117 = 0. \end{matrix}

Ebből

q^{2} = \frac{9}{4}

adódik, mivel

q^{2}

nem lehet negatív.
A keresett összeg:

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = b_{1} + b_{2} = b_{1} (1 + q^{2}) = 80 (1 + \frac{9}{4}) = 260. \end{matrix}

A feladat feltételeinek két sorozat is megfelel. Az egyik: 32; 48; 72; 108; 162; 243. A másik:

- 160

; 240;

- 360

; 540;

- 810

; 1215.

Bagyinszky Róbert (Békéscsaba, Széchenyi I. Közg. Szki., IV. o. t.)