Kezdőlap


Feladat:	C.276	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/november, 394. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: C.276

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messük el a kockát két szembenlévő lap párhuzamos átlóján átmenő $S$ síkkal. $S$ a kocka szimmetriasíkja, tartalmazza a kocka középpontját, mely egyben a keresett két érintő gömbnek is középpontja. $S$ a kockából olyan téglalapot metsz ki, melynek rövidebbik oldala $1$ egység, a hosszabbik oldala a kocka lapátlója, hossza $\sqrt[]{2}$ , a téglalap átlója a kocka testátlója, hossza $\sqrt[]{3}$ .

Jelölje

r

a belülről,

R

a kívülről érintő gömb sugarát. Ekkor

R = \frac{\sqrt[]{3} + 1}{2}, r = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{2}

.
A térfogatok különbsége:

\frac{4 π}{3} (R^{3} - r^{3}) = \frac{4 π}{3} ({(\frac{\sqrt[]{3} + 1}{2})}^{3} - {(\frac{\sqrt[]{3} - 1}{2})}^{3}) = \frac{10}{3} π \approx 10, 471

térfogategység.