Kezdőlap


Feladat:	C.272	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/november, 392 - 393. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Magasságpont, Téglalapok, Síkgeometriai bizonyítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: C.272

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $M N$ és $C B$ egyenesek metszéspontját $R$ -el, $B N$ és $A M$ metszéspontját $Q$ -val. Bebizonyítjuk, hogy $M R$ , ill. $B Q$ az $M P B$ háromszög két magasságvonala.

Tudjuk, hogy

M R ∥ A B

, s ezért

M R ⊥ B P

. Húzzuk meg az

A B

szakasz

f

felezőmerőlegesét. Az

A

pont

f

-re vonatkozó tükörképe

B

M N ⊥ B C

, s így

M N ⊥ f

N

rajta van az

A C

átlón, így tükörképe rajta kell, hogy legyen

A C

képén,

B D

-n. A tengelyes tükrözés tulajdonságaiból következik, hogy

N

tükörképe

M

. Mivel

M A B ∢ = N B A ∢ = 45^{\circ}

, azért

A Q B ∢ = 90^{\circ}

. Tehát

B Q

és

M R

valóban magasságvonalak, így

N

magasságpont, s ebből már következik, hogy

N P

a harmadik magasságvonal, s ezért merőleges

B D

-re.
A bizonyítás során a pontok helyzetére semmi megkötést nem tettünk, ezért állításunk egyaránt igaz, ha

P

B C

oldalszakaszra vagy az oldal egyenesére esik.