Kezdőlap


Feladat:	C.271	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/november, 392. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: C.271

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A logaritmus definíciójából következik, hogy $x > 0, 2 x \neq 1, 4 x \neq 1$ fenn kell, hogy álljon.
Az ismert azonosságok alkalmazásával írjuk át egyenletünket $2$ -es alapú logaritmusra:

\begin{matrix} \frac{2 + log_{2} x}{1 + log_{2} x} + \frac{4 + log_{2} x}{2 + log_{2} x} = 4. \end{matrix}

log_{2} x = y

új változó bevezetésével a következő másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} (2 + y) (2 + y) + (4 + y) (1 + y) = 4 (1 + y) (2 + y), \\ 2 y^{2} + 3 y = y (2 y + 3) = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} y_{1} = log_{2} x_{1} = 0, & vagyis x_{1} = 1; \\ y_{2} = log_{2} x_{2} = - \frac{3}{2}, & vagyis x_{2} = 2^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{{(\sqrt[]{2})}^{3}} . \end{matrix}

Helyettesítéssel is meggyőződhetünk, hogy mindkét gyök kielégíti az egyenletet.