Kezdőlap


Feladat:	C.263	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/március, 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Csonkakúp, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: C.263

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a térfogatot:

\begin{matrix} 2,6 = \frac{m π (R^{2} + R r + r^{2})}{3}, \\ 0,7 = \frac{m}{2} \cdot \frac{π (x^{2} + r x + r^{2})}{3} . \end{matrix}

Mivel éppen feléig töltöttük meg a vázát vízzel, a kisebbik csonkakúp fedőkörének sugara

x = \frac{R + r}{2} .

Helyettesítsük ezt a második egyenlőségbe, majd vegyük a két térfogat hányadosát. Rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{2,6}{0,7} = \frac{8 (r^{2} + R r + R^{2})}{7 r^{2} + 4 R r + R^{2}} . \end{matrix}

A tört számlálójának és nevezőjének minden tagját osszuk

r^{2}

-tel, majd vezessük be az

R / r = a

új változót; így a következő,

a

-ban másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 5 a^{2} - 8 a - 21 = 0. \end{matrix}

Az egyenlet gyökei:

a_{1} = 3; a_{2} = - 1,4 < 0

(nem megoldás).

Válaszunk:

R = 3 r