Kezdőlap


Feladat:	C.260	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1992/március, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Térelemek és részeik, Szögfüggvények a térben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: C.260

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a piramis alapélét $a$ , magasságát $m$ . Ekkor a feltétel szerint

\begin{matrix} 4 a & = 2 π m, & (1) \\ innen m & = \frac{2 a}{π} . \end{matrix}

A piramis oldallapjai egyenlő szárú háromszögek, amelyekben az alaphoz tartozó súlyvonal egyben magasságvonal is. Tudjuk, hogy egy egyenes és egy sík hajlásszögén az egyenesnek a síkra való merőleges vetületével bezárt szögét értjük. Az ábra jelöléseit és (1)-et felhasználva

\begin{matrix} tg α = \frac{m}{a / 2} = \frac{4 a}{a π} = \frac{4}{π}, ahonnan α \approx 51^{\circ} 51' . \end{matrix}

A másik két súlyvonal a szimmetria miatt ugyanakkora szöget zár be az alapsíkkal, így elegendő az egyiket meghatározni.
Az

A F

súlyvonal vetülete

A F'

; itt

F

felezi

E B

-t,

F'

felezi

K B

-t, és ezért

F F'

párhuzamos

E K

-val. Az

A F F'

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} tg β = \frac{F F'}{F' A} . \end{matrix}

(1)-ből

F F' = \frac{m}{2} = \frac{a}{π}, A F'

-t pedig meghatározhatjuk a Pitagorasz-tétel segítségével:

\begin{matrix} A F' = \sqrt[]{A K^{2} + K F'^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{a \sqrt[]{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt[]{2}}{4})}^{2}} = a \sqrt[]{\frac{5}{8}} . \end{matrix}

Helyettesítve a kapott értékeket:

\begin{matrix} tg β = \frac{a / π}{a \sqrt[]{5 / 8}} = \frac{\sqrt[]{8}}{π \sqrt[]{5}}, ahonnan β \approx 21^{\circ} 55' . \end{matrix}