Kezdőlap


Feladat:	C.252	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács László
Füzet:	1992/március, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Téglatest, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: C.252

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a téglatest éleit $a \leq b \leq c$ .
A felezés nem történhet az $a$ , ill. $b$ hosszúságú élek felezésével, mert hasonlóság csak úgy jöhet létre, ha a legrövidebb élnek a legrövidebb élt feleltetjük meg, és így tovább, nagyság szerint. De ha pl. $a : \frac{a}{2} = 2 : 1$ , míg a többi él hossza nem változott, nincs ilyen megfeleltetés. Tehát csak úgy lehetséges a felezés, ha a $c$ élt felezzük, s ekkor az új téglatest élei

\begin{matrix} \frac{c}{2} \leq a \leq b \end{matrix}

a régi élek között fennálló egyenlőtlenség miatt.
Mivel az eredeti test térfogata kétszerese a felezés utáni test térfogatának, hasonlóságuk aránya

1 : \sqrt[3]{2}

.
Azaz

\begin{matrix} a = \frac{c}{2} \sqrt[3]{2}, b = a \sqrt[3]{2}, c = b \sqrt[3]{2}, \end{matrix}

ahonnan

a : b : c = 1 : \sqrt[3]{2} : \sqrt[3]{4}

(közelítőleg

1 : 1,26 : 1,587

).
Ha tehát a téglatest éleinek aránya ilyen, akkor félbe lehet vágni két, az eredetihez hasonló téglatestre.

Kovács László (Bolyai J. E. Szki., IV. o. t.)