Kezdőlap


Feladat:	C.246	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Irracionális egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: C.246

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} x + 2 \sqrt[]{y} = 2 \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{x} + y = 2. \end{matrix}

(2)

Megoldás. Vonjuk ki (1)-ből (2)-t, és alkalmazzuk az

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

azonosságot az

(x - y)

különbségre:

\begin{matrix} x - y = 2 (\sqrt[]{y} - \sqrt[]{x}) = 0, \\ (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y}) (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) - 2 (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) = (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} - 2) = 0. \end{matrix}

Innen vagy

\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y} = 0

vagy

\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} - 2 = 0

. Az első esetben

\sqrt[]{y} = \sqrt[]{x}

-et (1)-be helyettesítve, a

\sqrt[]{x}

-ben másodfokú

\begin{matrix} x + 2 \sqrt[]{x} = 2 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Mivel

\sqrt[]{x}

nemnegativ, azért az egyetlen megoldás:

\begin{matrix} \sqrt[]{x_{1}} = - 1 + \sqrt[]{3}, x_{1} = {(- 1 + \sqrt[]{3})}^{2} = 4 - 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A második esetben

\begin{matrix} \sqrt[]{x} = 2 - \sqrt[]{y}, \end{matrix}

ezt behelyettesítve (2)-be

\begin{matrix} 2 (2 - \sqrt[]{y}) + y = 2. \end{matrix}

Rendezés után

\sqrt[]{y}

-ra a

\begin{matrix} {\sqrt[]{y}}^{2} - 2 \sqrt[]{y} + 2 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk, melynek diszkriminánsa

D = 4 - 8 < 0

, vagyis ennek az egyenletnek nincs megoldása a valós számok körében.
Az egyenletrendszer egyetlen megoldása tehát

\begin{matrix} x = y = 4 - 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(Helyettesítéssel is ellenőrizhetjük, hogy ez valóban megoldás.)