Kezdőlap


Feladat:	C.244	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Illés Mónika
Füzet:	1992/november, 390 - 391. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: C.244

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg a következő egyenletet:

\begin{matrix} sin (x + 15^{\circ}) + sin (x + 45^{\circ}) + sin (x + 75^{\circ}) = sin 15^{\circ} + sin 45^{\circ} + sin 75^{\circ} . \end{matrix}

(1)

Megoldás. A

sin α + sin β = 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2})

azonosságot alkalmazzuk az

α = x + 75^{\circ}, β = x + 15^{\circ}

választásával az (1) egyenlet bal oldalán:

\begin{matrix} sin (x + 75^{\circ}) + sin (x + 15^{\circ}) = 2 sin (x + 45^{\circ}) \cdot cos 30^{\circ} . \end{matrix}

Ismét alkalmazzuk az azonosságot

α = 75^{\circ}

és

β = 15^{\circ}

választással az (1) egyenlet jobb oldalán,

\begin{matrix} sin 75^{\circ} + sin 15^{\circ} = 2 sin 45^{\circ} \cdot cos 30^{\circ} . \end{matrix}

Így (1) a következőképpen írható:

\begin{matrix} 2 sin (x + 45^{\circ}) cos 30^{\circ} + sin (x + 45^{\circ}) = 2 sin 45^{\circ} \cdot cos 30^{\circ} + sin 45^{\circ} . \end{matrix}

Kiemelve

sin (x + 45^{\circ})

-t a bal,

sin 45^{\circ}

-t a jobb oldalon:

\begin{matrix} sin (x + 45^{\circ}) [2 cos 30^{\circ} + 1] = sin 45^{\circ} (2 cos 30^{\circ} + 1) . \end{matrix}

Mivel

2 cos 30^{\circ} + 1 \neq 0

, egyszerűsíthetünk vele (nem vesztünk gyököt sem).
Kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin (x + 45^{\circ}) = sin 45^{\circ}; \end{matrix}

ez akkor teljesül, ha

\begin{matrix} x + 45^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, & azaz x & = k \cdot 360^{\circ}, \\ vagy x + 45^{\circ} & = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, & azaz x & = 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, (k \in Z) . \end{matrix}

Illés Mónika (Sátoraljaújhely, Kossuth Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján